誤差・統計の要点

正規分布の問題

与えられるのは平均 μ と標準偏差 σ、そして巻末の正規分布表です。手順は一本道です。

手順

• ① 標準化する　Z ＝ (x − μ) ÷ σ で、平均から標準偏差いくつ分離れているかに直す。
• ② 表を引く　正規分布表が与えているのは上側確率（その値より右側の面積）。
• ③ 必要なら差を取る　区間の確率は上側確率の差で求める。

逆に「上位 X ％に入る最低点」を問われたら、この手順を逆に使います。上位 3 ％なら上側確率 0.03 に対応する Z を表から探し（Z ≒ 1.88）、x ＝ μ ＋ Z・σ で点数に戻します。

また、問題文には使わない数値が紛れていることがあります。「受験者 1,000 人」といった人数は、割合を聞かれている限り答えに影響しません。与えられた数字をすべて使おうとしないことも大切です。

覚えておくと速い包含率

確率密度関数の式を選ばせる問題も出ます。正しい形は指数関数 exp を含み、肩の分母が 2σ² になっています。exp のない式が混ぜてあることが多く、そこで半分は切れます。

誤差伝播の法則

測った量から計算で別の量を出すとき、もとの誤差がどう伝わるかを求めるのが誤差伝播です。独立した誤差要因は二乗和の平方根で合成します。

よく出る形

トータルステーションで斜距離 D と高低角 θ から高低差 Z ＝ D・sin θ を出す場合。

σ_Z² ＝ (sin θ・σ_D)² ＋ (D・cos θ・σ_θ)²

第 1 項が距離測定に由来する誤差、第 2 項が角度測定に由来する誤差です。距離が長いほど角度誤差の影響が大きくなることが式から読み取れます。

単位の扱いが最大の失点源

角度の標準偏差は必ずラジアンに換算してから使います。秒で与えられたら 206,265 で割ります（1 rad ≒ 206,265″）。ただし問題文に「1 ラジアン ＝ 2×10⁵ 秒とする」といった指定がある場合はその指定に従います。試験用の簡略値が与えられているのに 206,265 を使うと、選択肢と合わなくなります。

長さの単位も mm に統一してから代入するのが安全です。m と mm が混在したまま二乗すると、1,000 倍のずれがそのまま答えに出ます。

解く順番の型

• ① 式を書く　求める量を、測った量の関数として書き下す。
• ② 偏微分する　各変数で微分し、係数を出す。
• ③ 単位をそろえる　角度は rad、長さは mm。
• ④ 代入して二乗和の平方根　各項を計算してから合成する。

この 4 段階を崩さずに書き下せば、途中で混乱しません。特に③を代入の前に済ませておくと、単位ミスがほぼ防げます。