測量士試験 令和4年 午前 第16問
〔統計・誤差〕の解説・解答
第16問
🔢 統計・誤差
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📋 問題文
トータルステーション（TS）を用いた高低差測定における標準偏差の計算問題。高低差Z=D·sinθの式から、斜距離D=100m、高低角θ=30°のとき、空欄ア～オに適切な数値を選択せよ。距離測定精度は(5+5×10⁻⁶D)mm、角度測定精度は5"。
a． ア=0.5, イ=2.75, ウ=50,000, エ=0.000025, オ=1.86
b． ア=0.5, イ=5.5, ウ=50,000, エ=0.000025, オ=3.02
c． ア=0.5, イ=5.5, ウ=86,603, エ=0.000025, オ=3.50
d． ア=0.87, イ=2.75, ウ=86,603, エ=0.000050, オ=4.95
e． ア=0.87, イ=10.0, ウ=50,000, エ=0.000050, オ=9.05
📑 元問題ページ
💡 解説
TS による高低差 Z = D · sin θ の標準偏差 σ_Z を、誤差伝播の法則で求める計算問題。式 16-2 の各空欄を順に求める。
① ア = 0.5（D で偏微分）
f(D, θ) = D × sin θ → ∂f/∂D = sin θ
θ₀ = 30° を代入：sin 30° = 0.5
② イ = 5.5（距離 σ_D を計算）
距離測定精度 σ_D = 5 + 5×10⁻⁶ × D（mm）。D₀ = 100,000 mm を代入：
σ_D = 5 + 5×10⁻⁶ × 100,000 = 5 + 0.5 = 5.5 mm
③ ウ = 86,603（θ で偏微分）
∂f/∂θ = D × cos θ。D₀ = 100,000 mm、θ₀ = 30° を代入：
D₀ · cos 30° = 100,000 × 0.86603 = 86,603
④ エ = 0.000025（角度 σ_θ を rad 換算）
角度測定精度 σ_θ = 5"。1 rad = 2×10⁵ 秒なので：
σ_θ = 5 / (2×10⁵) = 0.000025 rad
⑤ オ = 3.50（最終 σ_Z）
σ_Z² = (0.5)² × (5.5)² + (86,603)² × (0.000025)²
= 0.25 × 30.25 + 7,500,079,609 × 6.25×10⁻¹⁰
= 7.5625 + 4.6875 ≒ 12.25
σ_Z = √12.25 = 3.50 mm
ア=0.5、イ=5.5、ウ=86,603、エ=0.000025、オ=3.50 の組合せ = 選択肢 3。
💡 正解: 3 — 標準偏差の計算（誤差伝播の法則）
測量士試験 過去問解説（無料）／ 本ページは独学者向けの解説です
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」を加工して掲載（政府標準利用規約準拠）
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」を加工して掲載（政府標準利用規約準拠）