水準点AからEまで水準測量を行い，表13の観測結果を得た。1 kmあたりの観測の標準偏差は幾らか。最も近いものを次の中から選べ。
なお，関数の値が必要な場合は，巻末の関数表を使用すること。
| 路線 | 距離 | 往観測値 | 復観測値 |
|---|---|---|---|
| A→B | 2.81 km | ＋2.3057 m | －2.3039 m |
| B→C | 0.92 km | ＋1.7894 m | －1.7881 m |
| C→D | 1.44 km | ＋1.9993 m | －1.9998 m |
| D→E | 1.48 km | ＋1.8990 m | －1.8975 m |
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解説
💡 m＝(1/2)√(Σ(d²/S)/n)。往復差 d を mm、区間距離 S を km で入れる。
往復観測の較差から、1 km 当たりの（往復平均の）観測の標準偏差を求める定番問題。較差の 2 乗を区間距離で割って足し合わせるのが要点。
① 各区間の往復差 d（往＋復）
A→B：2.3057 − 2.3039 ＝ ＋1.8 mm
B→C：1.7894 − 1.7881 ＝ ＋1.3 mm
C→D：1.9993 − 1.9998 ＝ −0.5 mm
D→E：1.8990 − 1.8975 ＝ ＋1.5 mm
② d² / S を求めて合計
3.24 / 2.81 ＝ 1.153
1.69 / 0.92 ＝ 1.837
0.25 / 1.44 ＝ 0.174
2.25 / 1.48 ＝ 1.520
合計 Σ(d²/S) ＝ 4.684
③ 1 km 当たりの標準偏差
片道 1 km の標準偏差を σ0 とすると、往と復の差 d の分散は 2σ0²S。したがって σ0² ＝ Σ(d²/S) / (2n)。往復平均の標準偏差はその 1/√2 なので、
m ＝ √( Σ(d²/S) / (4n) ) ＝ (1/2)√( Σ(d²/S) / n ) ＝ (1/2)√(4.684 / 4) ＝ (1/2)√1.171 ≒ (1/2) × 1.082 ≒ 0.54 mm
※ 片道の標準偏差 σ0 ＝ √(4.684 / 8) ≒ 0.77 mm は選択肢に無い。1.08 mm は 1/2 を掛け忘れた値。
1 km 当たりの観測の標準偏差は約 0.54 mm。よって 選択肢 2。