次の文の ［ア］ 及び ［イ］ に入る数値の組合せとして最も適当なものはどれか。次の 1 ～ 5 から選べ。
なお，関数の値が必要な場合は，巻末の関数表を使用すること。
図3の三角形 ABC は，辺 AB の辺長が 11 m，辺 BC の辺長が 14 m，辺 CA の辺長が 9 m である。このとき，∠ABC の角度は余弦定理によりおおよそ ［ア］ と求められ，三角形 ABC の面積はおおよそ ［イ］ である。
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解説
💡 cos B ＝(AB²＋BC²−CA²)÷(2·AB·BC)。面積は ½·AB·BC·sin B。ヘロンの公式で検算できる。
三辺の長さから余弦定理で角を出し、その角を挟む二辺で面積を出す問題。cos の値を関数表と見比べて角度を決める。
① 余弦定理で cos B を求める
∠B の向かいの辺は CA なので、cos B ＝（AB² ＋ BC² − CA²）÷（2 × AB × BC）
cos B ＝（121 ＋ 196 − 81）÷（2 × 11 × 14）＝ 236 ÷ 308 ≒ 0.76623
関数表では cos 40° ＝ 0.76604、cos 41° ＝ 0.75471。0.76623 は 40° の値とほぼ同じなので、∠ABC ≒ 40°。
② 二辺と挟む角で面積を求める
S ＝ ½ × AB × BC × sin B ＝ ½ × 11 × 14 × sin 40° ＝ 77 × 0.64279 ≒ 49.5 m²
③ ヘロンの公式で検算
s ＝（11 ＋ 14 ＋ 9）÷ 2 ＝ 17、S ＝ √{17 ×（17 − 11）×（17 − 14）×（17 − 9）}＝ √2,448 ≒ 49.48 m²。角度を使わない求め方でも同じ値になる。
ア ＝ 40°、イ ＝ 49.5 m²。よって 選択肢 1。
※ 余弦定理の分子で引くのは「求める角の向かいの辺」の 2 乗。CA² の代わりに別の辺を引くと、別の角を求めてしまう。