測量士試験 令和5年 午前 第4問
〔座標系〕の解説・解答

正規分布の確率密度関数（ア）と、標準化してから正規分布表で確率を読み取る手順（イ・ウ）の穴埋め問題。平均 μ = 100.000 m、標準偏差 σ = 0.012 m。

f(x) = 1/(√(2π)·σ) × exp{ −(x−μ)² / (2σ²) }。指数関数 exp を含み、肩の分母が 2σ²（σ の 2 乗）になっているものが正しい形。

選択肢には exp が抜けた式（カッコの 2 乗だけの式）が混ざっており、これらは誤り。

式 5 の標準化 Z = (x − μ) / σ に、x = 100.020 m を代入：

表 5 で Z = 1.67（行 1.6・列 .07）を引くと 0.04746。つまり観測距離が 100.020 m 以上となる確率は：

「正しい確率密度関数の式 ＋ イ=1.67 ＋ ウ=4.7」がそろうのは選択肢 3。選択肢 5 はイ・ウが同じでもアの式に exp がないため誤り（ひっかけ）。

測量の基準に関する記述で、すべての記述に誤りが含まれる正誤判定。a〜d を順に検証する。

位置は地理学的経緯度＋平均海面からの高さで表す（測量法 第11条1）。問題文の「地心緯度」は誤り。地心緯度は地心と地表面を結ぶ角度で、測地緯度（地理学的経緯度）とは異なる。

距離・面積は回転楕円体の表面上の値で表す（第11条2）。「ジオイドの表面上の値」は誤り。ジオイドは高さ（標高）の基準で、距離・面積の基準ではない。

ジオイドは高さを求める測量の基準面。「水平位置を求める測量の基準面」は誤り。水平位置の基準は回転楕円体面。

平面直角座標系は X軸が子午線方向（南北）、Y軸が東西（平成 14 年国土交通省告示第 9号）。「Y軸を子午線に一致」は誤り。

TS（トータルステーション）による距離測定の原理に関する正誤判定。

位相差測定で得られる距離は「光波の往復距離」。実際の距離（片道）は、得られた値を2 で割る必要がある。問題文の式では 2 で割る処理が抜けており、距離が 2 倍になってしまう。

TS による 1 級基準点測量で、点 A（標高 16.10 m）と点 B（標高 94.70 m）間の基準面上の距離を求める計算問題。作業規程の準則 付録 6 の式を使用。

α_A = 3°59'45"、α_B = −4°00'15" なので：

cos 4° ≒ 0.99756

点 A 側：H_A + f_A = 16.10 + 1.650 = 17.75 m

点 B 側：H_B + f_B = 94.70 + 1.550 = 96.25 m

ジオイド高 N = 43.00 m を加算 → 基準面までの平均高さ = 57 + 43 = 100 m

公式：S = D × cos((α_A − α_B)/2) × R / (R + 平均標高 + N)

D = 1,125.400 m、R = 6,370,000 m（地球平均曲率半径）として：

GNSS 測量機を用いた基準点測量に関する正誤判定。観測条件・解析手法を区別する。

スタティック法で 10 km 以上の観測を行う場合、GPS・準天頂衛星・GLONASS を併用するなら 6 衛星以上必要（GPS/QZS のみなら 5 衛星以上）。問題文の「5 衛星以上」は GLONASS 併用時の規定として誤り。

キネマティック法は単独測位ではない。固定局を設置し、移動局を複数の観測点に順次移動させて基線ベクトルを求める相対測位手法。「単独測位」は誤り。

GNSS で得た楕円体高から、新点 B の標高とジオイド面の傾斜量を求める計算問題。基本関係式：楕円体高 = 標高 + ジオイド高。

N_A = 楕円体高 − 標高 = 68.50 − 34.00 = 34.50 m

新点 B のジオイド高 N_B = 34.60 m、楕円体高 H_B = 72.50 m

これは A の標高 34.00 m と楕円体高差を取った値（h_A + (H_B − H_A) = 34 + 4 = 38 m）とほぼ一致するが、ジオイド傾斜を考慮するため細かい数値で計算する。

A〜B 間の距離 = 10,000 m、ジオイド高の差 ΔN = N_B − N_A = 34.60 − 34.50 = +0.10 m

標高約 38 m＋傾斜量 +0.01 m の組合せ → 選択肢 3。

公共測量における GNSS による水準測量（GNSS 水準測量）に関する正誤判定。作業規程の準則・標高測量マニュアルを参照。

電子基準点のみを既知点とする場合、セミ・ダイナミック補正は不要。以前は必要だったが、マニュアル改訂により不要となった（GNSS測量による標高の測量マニュアル）。問題文の「補正を行う必要がある」は現行ルールと異なるため誤り。

公共測量における水準測量の検測・計算手順を当てはめる穴埋め問題（作業規程の準則 第66条・第67条）。

1 級・2 級水準測量の検測は「片道観測を原則とする」（第66条一）。検測は元の観測と独立な検証手段として行うため、簡素な片道観測で誤差の有無を確認する。「往復観測」では検測の意味を成さない。

標尺補正計算と並んで、1 級・2 級水準測量に対して正規正標高補正計算（楕円補正）を行う（第67条一）。正規正標高補正は重力場の不均一性を補正する標準的な手法。

1 級水準測量においては、正規正標高補正計算に代えて正標高補正計算（実測の重力値による補正）を用いることができる。これは正規重力ではなく実測重力で補正するためより正確（ただし手間がかかる）。

1 級水準測量で、既知点 A・B から新点 P の標高を求める計算問題。標尺補正を施した後、観測距離による重量平均で最確値を求める。

・C₀：標尺改正数（+5 μm/m）　・T：観測温度　・T₀：基準温度 (20℃)

・α：膨張係数 (+1.0×10⁻⁶ /℃)　・Δh：観測高低差

係数 = 5.0×10⁻⁶ + (15 − 20) × 1.0×10⁻⁶ = 5×10⁻⁶ − 5×10⁻⁶ = 0

→ 補正量 ΔC_A = 0（係数がゼロのため）

係数 = 5.0×10⁻⁶ + (20 − 20) × 1.0×10⁻⁶ = 5×10⁻⁶

補正量 ΔC_B = 5×10⁻⁶ × (−67.0123) ≒ −0.0003 m

距離比 A→P : P→B = 2 km : 1 km → 重量比 = 1/2 : 1/1 = 1 : 2（距離の逆数が重量）

TS で測った高低差 Z = D·sinθ の標準偏差 σ_Z を、誤差伝播の法則で求める問題。距離 D と高低角 θ それぞれの測定誤差が Z に与える影響を合成する。

第1項が距離測定による誤差、第2項が角度測定による誤差。角度 σ_θ は必ずラジアンに直してから使う。

・D = 200 m = 200,000 mm、θ = 30°（sinθ = 0.5、cosθ = 0.866）

・距離精度 σ_D = 5 + 5×10⁻⁶ × 200,000 = 5 + 1 = 6.0 mm

・角度精度 σ_θ = 5″ ÷ 206,265 ≒ 2.42×10⁻⁵ rad（1 rad = 206,265″）

・距離項 = sinθ·σ_D = 0.5 × 6.0 = 3.0 mm

・角度項 = D·cosθ·σ_θ = 200,000 × 0.866 × 2.42×10⁻⁵ ≒ 4.2 mm

GNSS 測量機を用いた現地測量（地形・地物の測量）に関する正誤判定。

キネマティック法・RTK 法のセット間較差の許容範囲は水平 20 mm、高さ 30 mm。垂直方向は精度劣化が大きいため許容値が大きく設定される。問題文の「いずれも 20 mm」は誤り（第123条）。

公共測量における地上レーザスキャナを用いた数値地形図データ作成に関する正誤判定。

同一箇所から複数回計測する場合、地上レーザスキャナの器械高は変えるのが原則（第377条 9 項）。同じ高さだと同じ死角を繰り返してしまうため。「変えないようにする」は誤り。

地図情報レベル 500 の数値地形図データを作成する場合、標定点の精度（標準偏差）は水平位置・標高ともに 0.1 m 以内（第372条）。問題文の「0.2 m 以内」は誤り。

デジタル航空カメラを鉛直下に向けた空中写真撮影で、撮影基準面でのオーバーラップ率を求める計算問題。

公式：H = (画面距離 × 地上画素寸法) ÷ 素子寸法

幅 = 画素数 × 地上画素寸法 = 11,000 × 0.15 = 1,650 m

標高 350 m 上では撮影機からの距離が H − 200 = 2,300 m（撮影基準面 150 m から計算）

重複部分（35%）= 1,518 × 0.35 ≒ 531 m

非重複部分（撮影基線長）= 1,518 − 531 = 987 m

撮影基準面での重複長 = 1,650 − 987 = 663 m

公共測量における UAV 写真点群測量に関する正誤判定。

標定点は外側 3 点以上・内側 1 点以上に設置するが、検証点とは別に配置する必要があり、兼ねることはできない（第414条 2 項）。検証点は標定点からできるだけ離れた場所に独立に設置するのが規定。問題文の「検証点を兼ねることができる」は誤り。

航空レーザ測量で、進行方向の計測間隔を求める計算問題。スキャンレートと飛行速度から算出する。

スキャナは 1 往復で 2 本の測線を生成（往き・帰り）。スキャンレート 105 往復/秒 なので：

公式：計測間隔 = 対地飛行速度 ÷ 1 秒あたりの測線数

対地飛行速度 = 70 m/秒：

※ パルスレート（毎秒の照射回数）は別パラメータで、進行方向の計測間隔には直接関係しない。スキャンレート＋飛行速度の比率がポイント。

車載写真レーザ測量に関する正誤判定。

着脱式システムのキャリブレーション有効期間は6 か月を標準とする。固定式システムは 1 年。問題文の「1 年を標準」は着脱式の規定としては誤り。

地形図上で南から北へ投影した断面図を選ぶ判読問題。各山の標高と位置から断面図の正誤を判定する。

・前岳：628.5 m（地図中央のやや東）= 最高峰

・横岳：501 m（西側）

・嶽岳：425 m、棚木山：453.5 m（東側）

・計曲線間隔 50 m、主曲線間隔 10 m

・選択肢 1：西側に 550 m を超える山があるように描かれているが、実際は横岳 501 m が最高 → 誤り

・選択肢 2：600 m を超える峰が 2 つ描かれているが、実際は前岳のみ → 誤り

・選択肢 3：前岳の東側に 400 m を超える峰が描かれているが、地図と矛盾 → 誤り

・選択肢 4：前岳のみが 600 m を超え、他は約 580 m に達する → 地図と整合

・選択肢 5：西部分が 600 m に達していない → 誤り

地理院地図と地図投影法に関する正誤判定。Web メルカトル図法と UTM 図法の違いを理解しているかが問われる。

地理院タイルの投影法は Web メルカトル図法（Google が開発、Web 地図のデファクト標準）。1/25,000 地形図はユニバーサル横メルカトル（UTM）図法を採用。両者は別の図法で、問題文の「同様にUTM」は誤り。

DTM（数値地形モデル）の活用に関する正誤判定。DTM は地表面のみの標高データで、建物や樹木の高さを含まない点が要点。

DTM（地表面のみ）と建築物の外周線（平面情報のみ・高さ情報なし）の組合せでは、建築物の高さは求められない。建物高を求めるには DSM（数値表層モデル：建物・樹木含む）が必要。

地理空間情報活用推進基本法における基盤地図情報に関する正誤判定。

基盤地図情報の 13 項目には道路中心線は含まれない。正しくは「道路縁」が該当項目。13 項目：測量基準点、海岸線、公共施設の境界線（道路区域界・河川区域界）、行政区画境界・代表点、道路縁、河川堤防、軌道中心線、標高点、水涯線、建築物の外周線、町字境界・代表点、街区境界・代表点。

都市計画区域内の高さの誤差は 1.0 m 以内。問題文の「5.0 m 以内」は誤り（区域外は 5.0 m 以内が正しい）。

基本型（対称型）クロソイドの路線長を求める問題。線形は「クロソイド（長さ L）→ 円曲線 → 同じクロソイド（長さ L）」とつながる。R = 180 m、交角 I = 60°、A = 110 m、π = 3.142。

基本公式 A² = R·L より L = A² / R。

クロソイド1本が消化する接線角は τ = L/(2R)。対称型では両端で 2τ = L/R を使うので、円曲線の中心角は α = I − L/R（rad）。

よって Lc = R·α = R·I[rad] − L。I = 60° = π/3 rad なので、

Lc = 188.52 − 67.2 = 121.3 m

公共測量における用地測量に関する正誤判定。

補助基準点を設置する際の開放多角測量では、辺長 100 m 以内、節点は 1 点以内が基準（作業規程の準則 第681条）。問題文の「節点 2 点」は誤り。

四角形 ABCD の面積を座標法（シューレースの公式）で求める問題。点 C は直接観測できないので、補助基準点 P から距離 S=10.000 m・方向角 330° で C の座標を出してから求積する。

P → C の変位を方向角から求める（X=北、方向角は北から時計回り）。

・ΔX = S·cos330° = 10 × 0.8660 = +8.660 m

・ΔY = S·sin330° = 10 × (−0.500) = −5.000 m

P(−14,032.000, −9,605.000) に加えて C ≒ (−14,023.340, −9,610.000)。

・A(15.500, 25.000)　B(12.000, 15.500)　C(23.340, 10.000)　D(25.500, 30.500)

・A→B：15.5×15.5 − 12.0×25.0 = −59.75

・B→C：12.0×10.0 − 23.34×15.5 = −241.77

・C→D：23.34×30.5 − 25.5×10.0 = +456.87

・D→A：25.5×25.0 − 15.5×30.5 = +164.75

公共測量における河川測量に関する正誤判定。

定期横断測量の陸部の測量範囲は、水際杭ではなく堤内 20〜50 m を標準とする。問題文の「水際杭から 20 m」は誤り。堤防・堤内地の状況把握のため、より広い範囲が必要。