地点A，B，Cで囲まれた三角形ABCの土地の面積を算出するため，公共測量で設置された4級基準点から，トータルステーションを使用して測量を実施した。4級基準点から三角形の頂点にあたる地点A，B，Cを観測した結果は表27のとおりである。この土地の面積は幾らか。最も近いものを次の中から選べ。
なお，関数の値が必要な場合は，巻末の関数表を使用すること。
| 地点 | 方向角 | 平面距離 |
|---|---|---|
| A | 45°00′00″ | 50.000 m |
| B | 90°00′00″ | 20.000 m |
| C | 330°00′00″ | 50.000 m |
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解説
💡 基準点Oを頂点とする三角形で △ABC = △OCA + △OAB − △OCB。½·a·b·sin(挟角)で約1,128 m²。
4級基準点を O とすると、O から各頂点への方向角と距離が分かっている。O を頂点とする三角形の面積 ½ × a × b × sin(挟む角) を足し引きすれば、三角形 ABC の面積が出る。
① 位置関係をつかむ
方向角を小さい順に並べると C（330°、つまり −30°）、A（45°）、B（90°）。3点は O から見て 120° の範囲に収まるので、O は三角形 ABC の外にあり、A は辺 CB より O から見て遠い側にある。したがって
△ABC ＝ △OCA ＋ △OAB − △OCB
② 3つの三角形の面積
△OCA：挟む角 45° − (−30°) ＝ 75° ½ × 50 × 50 × sin 75° ＝ 1,250 × 0.96593 ≒ 1,207.41 m²
△OAB：挟む角 90° − 45° ＝ 45° ½ × 50 × 20 × sin 45° ＝ 500 × 0.70711 ≒ 353.55 m²
△OCB：挟む角 90° − (−30°) ＝ 120° ½ × 50 × 20 × sin 120° ＝ 500 × 0.86603 ≒ 433.01 m²
sin 120° ＝ sin 60°。関数表の値を使う。
③ 足し引き
1,207.41 ＋ 353.55 − 433.01 ≒ 1,127.95 m²
別解：O を原点に X ＝ S cos(方向角)、Y ＝ S sin(方向角) で座標にすると A(35.355, 35.355)、B(0, 20.000)、C(43.301, −25.000)。座標法で計算しても約 1,128 m² になる。
面積は約 1,128 m²。よって 選択肢 4。