測量士試験 令和6年 午前 第4問
〔測量基礎〕の解説・解答
図 4 に示すような三次元直交座標系において，ある点（x，y，z）を z 軸のまわりに図 4 に示す 方向にある角度回転させたとき k，式 4 により点（x’，y’，z’）に移されるものとする。 図4 x′ □y′□ = □ □ 1 □√3 z′ 0 −√3 1 0 0x 0□ □y□・・・・・・・・・・式 4 2z 点 A(1,000, 2000, 3.000) が式 4 により点 A'に移されるとき，点 A'の座標値は幾らか。また, 式 4 により z 軸の周りに図 4 に示す方向へ回転する角度は幾らか。 最も近い数値の組合せを次の 1 ～5 の中から選べ。
z 軸まわりの回転行列に関する計算問題。式 4 の行列 ＝ ½ × [[1, −√3, 0], [√3, 1, 0], [0, 0, 2]] を点 A(1.000, 2.000, 3.000) に作用させ、移った先 A' の座標と回転角を求める。
z 軸まわりの回転行列の標準形は [[cos θ, −sin θ, 0], [sin θ, cos θ, 0], [0, 0, 1]]。式 4 と見比べると：
x' = (1·x − √3·y) / 2 = (1.000 − 1.732 × 2.000) / 2 = (1.000 − 3.464) / 2 = −1.232
y' = (√3·x + 1·y) / 2 = (1.732 + 2.000) / 2 = 1.866
z' = 2·z / 2 = z = 3.000（z 軸まわりの回転では z は変化しない）
※ 検算：回転は原点からの距離を変えない。|OA| = √(1²+2²) = √5、|OA'| = √(1.232²+1.866²) = √(1.518+3.482) = √5 で一致。
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」を加工して掲載（政府標準利用規約準拠）